MESXXI : la mise en station à l'aide d'une webcam

Le lecteur peu féru de mathématiques est invité à se rendre directement en bas de page où sont présentées, courbes à l'appui, les propriétés des biais des méthodes I et II de mesXXI. Les biais, ou erreurs de méthode, sont les erreurs commises alors que les conditions de mesure sont idéales (turbulence nulle, erreur périodique de la vis sans fin inexistante).

A l'intention du lecteur soucieux de démontrer lui-même le formalisme de mesXXI, les formules ci-dessus donnent les expressions exactes des vitesses de dérive est-ouest U et sud-nord V. Par "exactes" j'entends qu'elles sont rigoureuses y compris pour des valeurs non nécessairement "petites" des défauts d'azimut et d'inclinaison "da" et "di" de l'axe horaire : des dépointages aussi improbables que 30 ou 60° par exemple sont parfaitement pris en compte. L'unité utilisée pour les vitesses de dérive U et V est le radian par radian d'angle horaire (ou plutôt de variation d'angle horaire) : c'est l'unité déjà employée pour les formules générales au premier ordre donnant U et V (voir "La théorie, les équations").

Pour aller plus loin dans la démonstration et, en particulier, établir les formules de la présente page, il faut disposer des termes de la matrice 3x3 assurant le passage du repère équatorial céleste OXYZ au repère instrumental Oxyz, tous deux définis dans l'encadré ci-dessus. Je précise que cette matrice, qui est une matrice de rotation, admet sa transposée comme inverse : une fois connue la matrice assurant le passage de OXYZ à Oxyz, il est donc immédiat de décrire le passage de Oxyz à OXYZ et vice versa.

Le cadre ci-dessus fournit les développements limités au deuxième ordre des vitesses de dérive est-ouest U et sud-nord V : on y tient compte des termes quadratiques da², di², da.di en plus des termes du premier ordre da et di.. On rappelle que les méthodes I et II utilisées par mesXXI reposent sur l'approximation du premier ordre des mêmes vitesses U et V (termes en da et di seuls pris en compte et donc termes quadratiques négligés : voir la page "La théorie, les équations").

L'obtention de ces deux développements limités à partir des expressions exactes fournies au paragraphe précédent est une entreprise quelque peu laborieuse (avis aux amateurs !). Mais on est récompensé de ses efforts car les calculs se simplifient quasi miraculeusement sur la fin.

Les biais des méthodes I et II sont explicités dans le cadre ci-dessus : on les obtient à partir des développements limités au deuxième ordre du paragraphe précédent (calcul relativement facile et instructif). La méthode I apparaît perturbée par des termes sinusoïdaux fonction de l'angle horaire H de l'étoile visée ; cette perturbation varie comme la cotangente (inverse de la tangente) de la déclinaison et devient donc très gênante au voisinage de l'équateur céleste ; en revanche elle tend à s'annuler à proximité du pôle où, propriété remarquable, les biais des deux méthodes (I et II) se rejoignent. Le logiciel mesXXI corrige les biais sinusoïdaux de la méthode I à l'aide d'un algorithme de Newton à deux variables : si l'algorithme converge les estimations corrigées des défauts da et di sont affichées (avec un astérisque) dans la fenêtre des résultats de session et contribuent aux moyennes des mesures de la méthode I ; dans le cas contraire les valeurs non corrigées sont affichées (sans astérisque) mais n'alimentent pas les moyennes des mesures.

Il serait facile de compenser les biais de la méthode II (qui sont aussi ceux de la méthode I corrigée) mais présentement (24 octobre 2006) ce n'est pas fait.

Pour évaluer numériquement les biais en minutes d'arc connaissant les défauts da et di en degrés, il suffit de multiplier les expressions du cadre ci-dessus par la constante pi/3. Par exemple, pour une latitude de 45° et des défauts da et di respectivement de -3 et de +1 degrés, les biais en azimut et en inclinaison de la méthode II sont respectivement de +3,14' et de +2,36'. Concernant la méthode I, avec les mêmes paramètres et une déclinaison de 15°, l'amplitude de la perturbation sinusoïdale (termes en cosH et sinH) atteint +/-10,75' pour l'inclinaison et +/-15,20' en azimut (voir les courbes ci-dessous).

Les courbes ci-dessus sont issues d'un programme de simulation numérique : elles représentent en fonction de l'angle horaire H de l'étoile visée les biais en minutes d'arc des méthodes I ("King généralisé") et II ("Bigourdan généralisé"). Le défaut d'azimut da est de -3° (l'axe horaire perce la voûte céleste trop à l'ouest) et le défaut d'inclinaison di de +1° (axe horaire trop vertical). Par ailleurs la latitude est de 45° et la déclinaison de l'étoile de +15°. Les tracés bleus concernent les biais en azimut et les rouges ceux en inclinaison. Enfin, mais vous l'aurez rectifié par vous-mêmes, l'échelle horizontale indique l'angle horaire H non pas en degrés mais en heures.

Ces courbes illustrent parfaitement les propriétés des biais dégagées au paragraphe précédent à partir de leurs expressions analytiques :

Existence d'une perturbation sinusoïdale de la méthode I (mesXXI compense cette perturbation)

Biais de la méthode II indépendants de l'angle horaire H

Egalité des biais de la méthode II et de ceux de la méthode I corrigée de sa perturbation sinusoïdale

La perturbation sinusoïdale de la méthode I décroît continûment de l'équateur céleste, où elle est infinie, aux pôles où elle s'annule.

A partir d'une déclinaison nord ou sud de 45°, la perturbation sinusoïdale de la méthode I devient de l'ordre de grandeur des biais de la méthode II.

A proximité immédiate des pôles les méthodes I et II ont les mêmes biais.